next up previous contents
Next: No dobra, ale co Up: Relatywistyka Previous: Czy prędkość światła jest   Spis rzeczy

Czy mozna przekroczyc predkosc swiata?

W paragrafie 2.1 ustalilismy, ze predkosc swiata jest jednakowa we wszystkich ukadach odniesienia. Pociaga to za soba pewne konsekwencje. Np. swiato we wszystkich ukadach odniesienia jest fala kulista (czoo znajduje sie zawsze o $x=ct$ od punktu centralnego). Piszemy wiec równanie kuli:


\begin{displaymath}
c^2t^2=x^2+y^2+z^2
\end{displaymath} (2.1)

Zapiszemy to teraz dla innego ukadu wspórzednych, przemieszczajacego sie wzgledem oryginalnej osi $x$ z predkoscia $v$. Zrobimy jeszcze uogólnienie, ze czas w ruchomym ukadzie zalezy od poozenia tego ukadu wzgledem obserwatora ($t+lx$) i obliczymy niewiadoma l.

Niewiadoma ta byaby dla transformacji galileuszowskich jest równa zero, ale tutaj zerowa byc nie moze. Spójrzmy na równanie:


\begin{displaymath}
c^2t^2=(x-vt)^2+y^2+z^2
\end{displaymath} (2.2)

To równanie nie moze byc spenione dla dowolnego $v$ przy niezmodyfikowanym czasie! Wnioskujemy wiec, ze musi zalezec jeszcze od poozenia. Lecimy wiec dalej:


$\displaystyle c^2(t+lx)^2=(x-vt)^2+y^2+z^2$     (2.3)
$\displaystyle c^2(t^2+2tlx+(lx)^2)=x^2-2xvt+(vt)^2+y^2+z^2$     (2.4)
$\displaystyle c^2t^2(1-\frac{v^2}{c^2})=x^2[1-(lc)^2]-\underbrace{2tx(v+c^2l)}_{fe}+y^2+z^2$     (2.5)

W ostatnim równaniu obraz równania kuli zaburza podkreslony czynnik. Jednak wiemy, ze swiato ma predkosc staa we wszystkich ukadach, wiec czynnik ten musi byc równy zero. Z tego wynika nam


\begin{displaymath}
v+c^2l=0 \rightarrow l=-\frac{v}{c^2}
\end{displaymath} (2.6)

Podstawiajac do wzoru na fale kulista, otrzymujemy:


\begin{displaymath}
c^2t^2(1-\frac{v^2}{c^2})=x^2[1-\frac{v^2}{c^2}]+y^2+z^2
\end{displaymath} (2.7)

Co okresla z punktu widzenia ukadu obserwatora rozchodzenie sie fali kulistej w ukadzie ruchomym. Obserwator w ukadzie ruchomym oczywiscie widzi upyw czasu i rozchodzenie fali bez tego smiesznego wspóczynnika, czyli


$\displaystyle t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$     (2.8)
$\displaystyle x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$     (2.9)

W powyzszym wzorze od razu podany zosta tez wzór na $x'$. W miejscu $t$ oraz $x$ po prawej stronie, podstawione zostay juz ostatecznie funkcje $t=f(t,x)$ oraz $x=g(t,x)$

Powtarzajac cae rozumowanie, zamieniajac we wzorach predkosc $v$ na $-v$, dostaniemy przeksztacenia odwrotne; z ukadu poruszajacego sie do spoczywajacego:


$\displaystyle t=\frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$     (2.10)
$\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$     (2.11)

Sa to transformacje Lorentza.

Mozna sie teraz pokusic o obliczenie predkosci mierzonej w ukadzie spoczywajacym ( $\frac{\Delta x}{\Delta t}$), znajac predkosc w ukadzie ruchomym ( $u=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}$), poruszajacym sie z predkoscia $v$ wzgledem obserwatora nieruchomego:


\begin{displaymath}
\frac{\Delta x}{\Delta t}=
\frac{\Delta x'+v\Delta t'}{\Delta t'+\frac{v}{c^2}\Delta x'}
\end{displaymath} (2.12)

(mianowniki nam sie w liczniku i mianowniku uprosciy) Wyciagamy teraz $\Delta t'$ przed nawias mianownika


\begin{displaymath}
\frac{\Delta x}{\Delta t}=
\frac{1}{\Delta t'}\frac{v\Delta ...
...c^2}\frac{\Delta x'}{\Delta t'}}=
\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}
\end{displaymath} (2.13)

Jest to wzór na relatywistyczne skadanie predkosci. Jak widac, nie ma mozliwosci przekroczenia predkosci swiata.

Powyzsze wyprowadzenia sa bardzo proste, ale bardziej trafiajace do wyobrazni jest przypuszczalnie podejscie geometryczne, z diagramami czasoprzestrzennymi. Moze kiedys pojawi sie rozdzia i o tym.


next up previous contents
Next: No dobra, ale co Up: Relatywistyka Previous: Czy prędkość światła jest   Spis rzeczy