next up previous contents
Next: Ile wynosi masa fotonu? Up: Relatywistyka Previous: Czy wzór jest prawidłowy?   Spis rzeczy

Jak wyprowadzic $E = mc^2$?

Rozpatrujemy czastke, która leci w przestrzeni, a w pewnym momencie emituje w przeciwlegych kierunkach dwa fotony o jednakowym pedzie. W konsekwencji, predkosc czastki pozostanie niezmieniona. Jak jednak sytuacja bedzie wygladac z ukadu, poruszajacego sie z predkoscia v wzgledem ukadu zwiazanego ze srodkiem masy czastki?

Otóz, na skutek efektu Dopplera, zmienia sie czestotliwosci wyemitowanych fotonów, a zatem równiez ich pedy, równe


\begin{displaymath}
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{cT}=\frac{hf}{c}
\end{displaymath} (2.21)

Widac, ze oryginalnie, czestosci byy sobie równe. W ukadzie ruchomym, transformuja sie jak


\begin{displaymath}
f'=f\frac{\sqrt{1-u/c}}{\sqrt{1+u/c}}
\end{displaymath} (2.22)

Zatem zasada zachowania pedu to:


\begin{displaymath}
mv=mv+\frac{hf}{c}
\left(\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}-\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\right)
\end{displaymath} (2.23)

Widac, ze dla staej predkosci v przed i po emisji, równanie nie moze byc spenione gdy wypadkowy ped fotonów nie jest zerowy. Wobec tego trzeba napisac, ze


\begin{displaymath}
p=p'+\frac{hf}{c}
\left(\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}-\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\right)
\end{displaymath} (2.24)

Inaczej mówiac,


\begin{displaymath}
p=p'+\frac{hf}{c}\left(
\frac{1+v/c-(1-v/c)}{\sqrt{1-v^2/c^2...
...v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=
p'+vE_0/c^2\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
\end{displaymath} (2.25)

Zastapmy teraz $E_0=2hf$, tj. energie fotonów z ukadu spoczynkowego, energia z ukadu ruchomego. Równiez uzyjemy tu przesuniecia dopplera, gdyz dla pojedynczego fotonu energia $E=hf$, wiec


$\displaystyle E_v=hf_1+hf_2=hf\left(\frac{2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ (2.26)
$\displaystyle E_0=E_v\sqrt{1-v^2/c^2}$     (2.27)

Mamy teraz,


\begin{displaymath}
(\Delta p)c^2=v\Delta E_v
\end{displaymath} (2.28)

W granicy, gdyby energia fotonów bya tak duza, ze $p'=0$, tj. czastka biegnaca z predkoscia $v$ by przestaa istniec,


\begin{displaymath}
pc^2=vE_v
\end{displaymath} (2.29)

Podstawiajac $p=m_0v/\sqrt{1-v^2/c^2}$ i oznaczajac ,,mase relatywistyczna'' jako $m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$ (gdzie $m_0$ jest masa spoczynkowa, tj. masa w normalnym rozumieniu tego sowa) dostaniemy równanie Einsteina.


next up previous contents
Next: Ile wynosi masa fotonu? Up: Relatywistyka Previous: Czy wzór jest prawidłowy?   Spis rzeczy