next up previous contents
Next: Co jest źródłem pola Up: Relatywistyka Previous: Z jakich wzorów korzystać   Spis rzeczy

Czy mozna wyprowadzic równania STW bez zaozenia staej predkosci swiata, opierajac sie tylko na zasadzie wzglednosci?

From: "Kazimierz Kurz" <kakaz@NOSPAM.poczta.gazeta.pl>

Jak obiecywaem przedstwiam czysto kinematyczne wyprowadzenie transformacji Lorentza, ktore nie korzysta z jakichkolwiek zaozen na temat predkosci swiata w prózni. Pokazuje ono, ze kluczowe dla STW jest zalozenie zasady wzglednosci w wersji Galileusza (wszystkie ukady inercjalne sa równoprawne w tym sensie, ze wszelkie formuy fizyczne maja w nich te sama postac, co uniemozliwia wykrycie ruchu wzglednego ukadu.)

Wniosek: ktokolwiek obala STW w zasadzie próbuje obalic wasnie ta zasade.

Ponizszy tekst pochodzi z czasopisma Delta nr 8 z 1992 roku (numer 219) i jest fragmentem artykuu pod tytuem ,,Jeszcze raz o teorii wzglednosci''. Autorem przedstawionego rozumowania (i artykuu) jest prof. Andrzej Szymacha.

Porownujemy opis ruchu dokonywany z dwóch, a pozniej z trzech ukadów odniesienia, nazywanych O, O' i O'' poruszajacych sie z predkosciami: $V$-O' w O, oraz $U$-O'' w O'. Oto tresc rozumowania:

(cytat z Delty)

Przyjmijmy, ze mamy do czynienia z dwiema identycznymi grupami zegarów zsynchronizowanych w ich ukadach spoczynkowych, rozmieszczonymi w jednostkowych odstepach (przy wykorzystaniu takiej samej definicji metra przez kazdego z obserwatorów). W kazdej z rodzin wyrózniamy po jednym zegarze, od którego mierzy sie odlegosci. Zegary te stanowia poczatki swoich ukadów. Przyjmujemy ze zegary w poczatkach swoich ukadow pokazuja zero wtedy, gdy wasnie sie mijaja.

Zwroty okreslajace znaki wspórzednych wybieramy (na razie) przeciwnie w obu ukadach. Kazdy z ukadow porusza sie z predkoscia $-V$ wzgledem tego drugiego.

([Na rysunku 2] mamy dwa punkty o wspórzednych A(b,d) i B(a,c) - dopisek mój [zapewne w ukadzie o osiach czas/poozenie-przyp. red.])

Jesli wspórzedne punktu A na rysunku 2 oznaczyc (b,d) a punktu B - (a,c), to jasne jest, ze w ogólnosci zwiazek miedzy wspórzednymi czasoprzestrzennymi bedzie:


\begin{displaymath}
x = ax' + bt'
\end{displaymath} (2.33)


\begin{displaymath}
t = cx' + dt'
\end{displaymath} (2.34)

Zadanie nasze polega na wyznaczeniu tych czterech wspolczynnikow jako funkcji predkosci (obu ukadów - dopisek mój). Poniewaz sytuacja wzajemna obu ukadów jest absolutnie identyczna, (tu korzystamy z zasady wzglednosci Galileusza - podkreslenie moje) obowiazywac musi równiez:


\begin{displaymath}
x' = ax + bt
\end{displaymath} (2.35)


\begin{displaymath}
t' = cx + dt
\end{displaymath} (2.36)

(dalej sa tylko rachunki - dopisek mój)

Podstawiajac (2.35) i (2.36) do (2.33), dostajemy:


$\displaystyle x = a( ax + bt ) + b( cx +dt ) =$      
$\displaystyle = ( a^2 + bc )x + b( a + d )t =$      
$\displaystyle = 1x + 0t$     (2.37)

(bo musi byc x = x - dopisek mój)

co prowadzi do pierwszych dwoch rownan na a, b, c, d:


$\displaystyle a = -d$     (2.38)
$\displaystyle a^2 + bc = 1$     (2.39)

Dla zegara w poczatku ukadu O' mamy stale x'=0; podstawiajac x'=0 do (2.33) i (2.34) i dzielac stronami powinnismy dostac jego predkosc $-V$, wiec


\begin{displaymath}
b/d = -V
\end{displaymath} (2.40)

Równania (2.38), (2.39) i (2.40) pozwalaja wyrazic trzy niewiadome funkcje predkosci a, b i c przez jedna juz tylko funkcje $d(V)$ i zapisac podstawowa transformacje (2.33) i (2.34) w postaci:


$\displaystyle x = -d( x' + Vt' )$     (2.41)
$\displaystyle t = d\left( t' + x'V\frac{ 1 - d^{-2} }{V^2}\right)$     (2.42)

Teraz mozemy zmienic zwrot osi x, bo tak jest na ogó wygodniej:


$\displaystyle x = d( x' + Vt' )$     (2.43)
$\displaystyle t = d\left( t' + x'V\frac{ 1 - d^{-2} }{V^2}\right)$     (2.44)

Rozpatrzmy takze trzeci ukad O'' który porusza sie z predkoscia $U$ wzgledem ukadu O'. Oznacza to, ze dla zegara z poczatku O'' zachodzi $x = Ut'$. Podstawiajac te wartosci do (2.43) i (2.44), a potem dzielac stronami otrzymamy predkosc ukadu O'' wzgledem ukadu O. Oznaczmy ja $U\oplus V$ dla przypomnienia, ze wedug Galileusza predkosc ta byaby zwyka suma. Otrzymamy wiec:


\begin{displaymath}
U\oplus V = \frac{U + V}{1 + UV\left[ \frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2}\right] }
\end{displaymath} (2.45)

Wielowiekowe przesady na temat zachowania sie ruchomych zegarów sprowadzaja sie w swietle naszych dotychczasowych wyników zawartych we wzorach (2.43), (2.44), (2.45) do postulowania, iz nieoznaczona na razie, funkcja $d(V)$ jest tozsamosciowo równa $1$. Wzory (2.43) i (2.44) po wstawieniu tam $d=1$ opisuja tzw. transformacje Galileusza, bedaca podstawa klasycznej fizyki konca XIX w. Nie istnieje jednak zaden argument logiczny, który by zmusza do przyjecia $d=1$.

(...skracam nieco komentarze dotyczace zagadnien poruszanych w artykule prof. Szymachy wczesniej, które nie maja zwiazku z wyprowadzeniem)

Jest jednak rzecza interesujaca, ze peny matematyczny ksztat $d(V)$ udaje sie wyznaczyc na drodze czystej dedukcji bedacej kontynuacja rozwazan prowadzacych od wzorów (2.33) i (2.34) do wzorów (2.43) i (2.44).

Przyjrzyjmy sie wzorowi (2.45). Podaje on predkosc poczatku ukadu O'' jako zozenie jego wasnej predkosci $U$ i predkosci unoszenia $V$. Gdy jednak rozwazyc ruch ukadu O wzgledem O'', to $U$ bedzie predkoscia unoszenia, a V predkoscia wasna (skrupulatny czytelnik mógby domagac sie postawienia znaku ,,minus'' przy tych predkosciach, co mozna zrobic, ale mozna tez powiedziec, ze dla tej czesci obliczen zmienilismy zwroty wszystkich trzech osi). Powinnismy wiec we wzorze (2.45) zamienic $V$ na $U$ i $U$ na $V$ i mimo to dostac te sama predkosc:


$\displaystyle \frac{ U + V }{ 1 + UV\left[ \frac{ 1 - d^{-2}(V) }{V^2} \right] }=$     (2.46)
$\displaystyle = \frac{ V + U }{ 1 + VU\left[ \frac{1 - d^{-2}(U)}{U^2} \right]}$     (2.47)

Czytelnik bez trudu odczyta z powyzszego wzoru, ze sprowadza sie on do nastepujacego, prostszego


\begin{displaymath}
\frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2} = \frac{1 - d^{-2}(U)}{ U^2}
\end{displaymath} (2.48)

Jest to fantastyczny wynik! Jako wyprowadzony dedukcyjnie, bez odwoywania sie do konkretnego doswiadczenia, jest on niezwykle ogólny i scisy, co najmniej tak dokadny jak samo pojecie ukladu inercjalnego. [...]

Wzór (2.48), mowiacy ze kombinacja $\frac{1 - d^{-2})}{V^2}$ nie zmieni swej wartosci, gdy $V$ zastapimy przez $U$, oznacza, ze kombinacja ta w ogóle od V nie zalezy czyli, ze jest to pewna uniwersalna staa, niezalezna od fizycznego kontekstu. Oznaczmy ja litera, która najczesciej wybiera sie dla dowolnej stalej, tj C.


\begin{displaymath}
\frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2} = C
\end{displaymath} (2.49)

Równanie to bez trudu rozwiazemy wzgledem $d(V)$:


\begin{displaymath}
d(V) = \frac{1}{\sqrt{1 - CV^2 }}
\end{displaymath} (2.50)

Podstawiajac wynik do wczesniejszych wzorów dostajemy ostatecznie:


$\displaystyle x = \frac{ x' + Vt'}{\sqrt{ 1 - CV^2 }}$     (2.51)
$\displaystyle t = \frac{CVx' + t'}{\sqrt{ 1 - CV^2 }}$     (2.52)
$\displaystyle U\oplus V = \frac{ V + U }{ 1 + CUV }$     (2.53)

Rozwazania nasze w czesci kinematycznej byy niezwykle ogólne. Przejawia sie to w tym, ze ostateczny wynik obejmuje swym zasiegiem nie tylko nowa fizyke zwiazana z niezerowa wartoscia $C$, ale w szczegolnosci takze fizyke Galileusza. Podstawienie $C = 0$ we wzorach (2.51), (2.52) i (2.53) przeksztaca te wzory we wzory klasyczne. Jest to dowód na to, ze w caym rozumowaniu nie wystapiy zadne zaozenia, które byyby sprzeczne z fizyka klasyczna. Mysmy sie jedynie powstrzymywali przed pewnymi pochopnymi zaozeniami, jakie musiayby byc uczynione przez klasykow po to, by uzyskac $C = 0$.

(a wiec nie tylko nie zakadalismy ,,stalosci predkosci swiata'' czy ,,maksymalnej predkosci oddziaywan, ale wrecz dokonalismy mniej arbitralnych zaozen niz w fizyce klasycznej, bowiem uzyskany wynik jest ogólniejszy!!! - uwaga moja).

Pozostaje jedynie ustalic, jaka jest liczbowa wartosc staej $C$, gdy czas jest mierzony w sekundach a odeglosci w metrach. Dopiero teraz jest nam potrzebny znów kontakt z doswiadczeniem. Jedno wiemy z gory, musi byc to wielkosc bardzo maa, skoro nie zauwazono jej przez kilka stuleci!

(koniec cytatu z DELTY)

Koniec rozumowania. Ustalenie wartosci C atwo wykonac, poslugujac sie rachunkiem wyznaczajacym siy dziaajace na adunki poruszajace sie w równolegych drutach.

W ukladzie zwiazanym z adunkami dodatnimi druty spoczywaja a poruszaja sie adunki ujemne i oddziaywuja ze soba siami Lorentza. W ukadzie zwiazanym z adunkami ujemnymi jest dokadnie odwrotnie. Poniewaz ukady sa inercjalne, siy sa jednakowe ( zasada wzglednosci Galileusza), wiec mozemy wyliczyc wartosc $C$, i okazuje sie ona byc równa $C = \mu_0\varepsilon_0$, co daje liczbowa wartosc stalej $C$


\begin{displaymath}
C = 1.1 \cdot 10^{-17} \frac{s^2}{m^2}
\end{displaymath} (2.54)

Staa $C$ zapisuje sie najczesciej (z powodów wynikajacych z analizy wymiarowej ;-) jako:


\begin{displaymath}
C = \frac{1}{c^2} \textrm{, gdzie } c = 3 \cdot 10^8\frac{m}{s}
\end{displaymath} (2.55)

Zupenie przez przypadek (a moze nie? skad sie bierze wzór na sie Lorentza i dlaczego elektrodynamika jest jaka jest?) taka sama wartosc ma predkosc swiata w prózni.

Kozystajac ze wzoru (2.53) atwo udowodnic, ze predkosc $c = \frac{1}{\sqrt{C}}$ w jednym ukadzie odniesienia jest rowna takze $c$ w innym ukladzie:


\begin{displaymath}
V\oplus\frac{1}{\sqrt{C}} = \frac{1}{\sqrt{C}}
\end{displaymath} (2.56)

Koniec rozumowania


next up previous contents
Next: Co jest źródłem pola Up: Relatywistyka Previous: Z jakich wzorów korzystać   Spis rzeczy