next up previous contents
Next: Co z siłami podłużnymi Up: Relatywistyka Previous: Do jakiej prędkości rozpędzić   Spis rzeczy


Wyprowadzenie wzorów uzywanych w sekcji 2.22

From: "Siriuz" <siriuz@polbox.com>

Jako model pola przyjmujemy pole kondensatora paskiego. Transformacje pola sa ogólne, wiec mozna przyjac dowolny model, a kondensator daje model wygodny i przejrzysty (przyp. red.).

Bierzemy lepimy dwa ukady odniesienia. $S$ oraz $S'$, poruszajacy sie wzgledem $S$ z $v$ w kierunku ujemnych wartosci $x$. Umieszczamy w nich kondensator paski równolegle plaszczyzny xz (dolna okadka ,,+'', górna ,,-'' - ma to znaczenie przy wyznaczaniu np. zwrotu indukcji magnetycznej $B$ z reguy prawej reki). Okadki naadowane sa adunkem o gestosci $\sigma$. W ukadzie $S$ pole elektryczne bedzie sie wyrazao przez


\begin{displaymath}
E_y = \frac{\sigma}{\varepsilon}
\end{displaymath} (2.72)

a w $S'$


\begin{displaymath}
E'_y = \frac{\sigma'}{\varepsilon}
\end{displaymath} (2.73)

W wyniku skrócenia Lorentza ulegnie zmniejszeniu powierzchnia okadek, ale cakowity adunek pozostanie niezmieniony, a wiec gestosc adunku wzrosnie - stad róznica $\sigma$.

Patrzac z $S$ na $S'$ (kondensator sie porusza), pojawia sie pole magnetyczne za które odpowiedzialne sa prady powierzchniowe o gestosci


\begin{displaymath}
K_\pm = \pm \sigma' v \vec i
\end{displaymath} (2.74)

(przez $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$ oznaczymy sobie odpowiednio wersory dla $x$, $y$ i $z$). Stad, zgodnie z regua prawej reki (prawo Ampere'a) otrzymujemy pole magnetyczne


\begin{displaymath}
B'_z = -\mu \sigma' v
\end{displaymath} (2.75)

Jak wczesniej zauwazylismy, powierzchnia (a tym samym gestosc adunku) ulegnie zmianie o czynnik $\gamma$ transformacji Lorentza


\begin{displaymath}
\sigma' = \gamma \sigma
\end{displaymath} (2.76)

gdzie oczywiscie $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, wiec


$\displaystyle E'_y = \frac{\gamma\sigma}{\varepsilon} = \gamma E_y$     (2.77)
$\displaystyle B'_z = -\gamma\mu\sigma v =$      
$\displaystyle = -\gamma\varepsilon\mu v E_y$     (2.78)

a poniewaz $\varepsilon \mu = 1/c^2$, to


\begin{displaymath}
B'_z = -\frac{\gamma v E_y}{c^2}
\end{displaymath} (2.79)

Teraz ustawiamy kondensator równolegle do paszczyzny xy i otrzymujemy analogicznie


$\displaystyle E'_z = \gamma E_z$     (2.80)
$\displaystyle B'_y = \frac{\gamma v E_z}{c^2}$     (2.81)

Po zebraniu do kupy mamy


$\displaystyle E'_x = E_x$     (2.82)
$\displaystyle E'_y = \gamma E_y$     (2.83)
$\displaystyle E'_z = \gamma E_z$     (2.84)
$\displaystyle B'_x = B_x$     (2.85)
$\displaystyle B'_y = \frac{\gamma v E_z}{c^2}$     (2.86)
$\displaystyle B'_z = \frac{\gamma v E_y}{c^2}$     (2.87)

Teraz aczymy (pamietamy ze ukad $S$ byl stacjonarny, wiec nie wystepowao w nim pole magnetyczne i $B_x = 0$)


\begin{displaymath}
\vec B' = \frac{\gamma v}{c^2} (E_z\vec j - E_y\vec k) =
= \frac{v}{c^2} (E'_z\vec j - E'_y\vec k)
\end{displaymath} (2.88)

Poniewaz $\vec v = v\vec i$, to po przeksztaceniu


\begin{displaymath}
\vec B' = -\frac{\vec v \times \vec E'}{c^2}
\end{displaymath} (2.89)

HURRA! :) Zwiezle, atwo i przyjemnie :) I teraz dobrze jest, raczej na pewno :)


next up previous contents
Next: Co z siłami podłużnymi Up: Relatywistyka Previous: Do jakiej prędkości rozpędzić   Spis rzeczy