next up previous contents
Next: Czy woda w wannie Up: Mechanika Previous: Mechanika   Spis rzeczy


Przyspieszenia w ukadach nieinercjalnych

Rysunek 3.1: Dwa ukady, inercjalny O (z lewej) i nieinercjalny O' (z prawej)
\includegraphics[height=4cm,width=6cm]{przyspieszenia.eps}

Spójrzmy na rysunek 3.1. Mamy tam dwa ukady: inercjalny oraz nieinercjalny, który porusza sie wzgledem inercjalnego z pewnym przyspieszeniem. Przeprowadzmy pewne rózniczkowanka.


$\displaystyle r\vec{e}=r_0\vec{e}+r'\vec{e'}$     (3.1)
$\displaystyle \vec{e}\frac{d\vec{r}}{dt}=
\vec{e}\frac{dr_0}{dt+\vec{e'}}\frac{dr'}{dt}+r'\frac{de'}{dt}$     (3.2)

Mamy tu na poczatku zapisany wektor poozenia punktu P z pomoca wektorów jednostkowych $e$ ukadu inercjalnego i $e'$ ukadu nieinercjalnego. Wykonujac rózniczkowanie, pamietamy ze orientacja wektorów jednostkowych ukadu nieinercjalnego moze ulegac zmianie, a wiec zalezy od czasu. Rózniczkowaniu podlega wiec funkcja


\begin{displaymath}
\frac{d[\vec{e'}(t)r'(t)]}{dt}=\vec{e'}(t)\frac{dr'(t)}{dt}+r'(t)\frac{d\vec{e'}(t)}{dt}
\end{displaymath}

Otrzymana pochodna mozemy zapisac jako:


\begin{displaymath}
\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{v'}+\vec{\omega} \times \vec{r}
\end{displaymath} (3.3)

Tzn. mamy pochodna iloczynu. Rózniczkujac to wyrazenie dalej, dochodzimy do:


$\displaystyle \vec{e}\frac{d^2r}{dt^2}=
\vec{e}\frac{d^2r_0'}{dt^2}+
\frac{d\ve...
...{e'}\frac{d^2r'}{dt^2}+
\frac{dr'}{dt}\frac{d\vec{e'}}{dt}+
r'\frac{d^2e}{dt^2}$     (3.4)
$\displaystyle \vec{a}=\vec{a_0}+
2(\vec{\omega}\times\vec{v})+
\vec{a'}+
(\vec{\epsilon_0}\times\vec{r'})+
\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})$     (3.5)

W ostatnim równaniu poszczególne czony maja nastepujace znaczenie:


$\displaystyle \frac{d\vec{e'}}{dt}\frac{dr'}{dt}=
(\vec{\omega}\times\vec{e'})\frac{dr'}{dt}=
\vec{\omega}\times\vec{v}$     (3.6)
$\displaystyle r'\frac{d^2e'}{dt^2}=r'\frac{d(\vec{\omega}\times\vec{e'})}{dt}=
r'\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{e'}+r'\vec{\omega}\times\frac{d\vec{e'}}{dt}$     (3.7)
$\displaystyle \vec{\epsilon}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}\qquad\textrm{Przyspieszenie kątowe}$     (3.8)
$\displaystyle \vec{a_{0b}}=\vec{\epsilon}\times\vec{r'}\qquad\textrm{Przyspieszenie obwodowe}$     (3.9)
$\displaystyle \vec{a_d}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})=-\omega^2\vec{r'}\qquad\textrm{Przyspieszenie
dośrodkowe}$     (3.10)
$\displaystyle \vec{a_c}=2(\vec{\omega}\times\vec{v})\qquad\textrm{Przyspieszenie
Coriolisa}$     (3.11)
$\displaystyle \vec{a_0}\qquad\textrm{Przyspieszenie O' względem O}$     (3.12)
$\displaystyle \vec{a'}\qquad\textrm{Przyspieszenie punktu P w O'}$     (3.13)

Widac stad m.in, ze sia Coriolisa nie jest niczym magicznym i wynika wprost z rozwazan nad ukadem nieinercjalnym i jego zachowaniem wzgledem ukadu inercjalnego.


next up previous contents
Next: Czy woda w wannie Up: Mechanika Previous: Mechanika   Spis rzeczy