next up previous contents
Next: Optyka, fale EM Up: Prąd Previous: Z jaką prędkością płynie   Spis rzeczy

Jaki jest opór na zaciskach opornika nieskonczonej kratownicy o bokach zozonych z oporników R?

From: Andrzej Komisarski <andkom.usun@mimuw.edu.pl.usun>

Rozwazamy punkty kratowe paszczyzny (punkty o obu wspórzednych cakowitych). Kazdy taki punkt (m,n) aczymy czterema identycznymi opornikami o oporze R z jego sasiadami (m+1,n), (m-1,n), (m,n+1), (m,n-1). Otrzymujemy w ten sposób nieskonczenie wielka kratownice, utworzona z identycznych oporników o oporze R kazdy.

Zadanie w wersji uproszczonej:

Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiedzy dwoma sasiednimi punktami kratowymi?

Zadanie w wersji rozszerzonej:

Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiedzy dowolnymi dwoma ustalonymi punktami kratowymi?

Zadanie w wersji uproszczonej jest dosyc oklepanym zadaniem, pojawio sie kiedys na Olimpiadzie Fizycznej, mozna je znalezc w wielu zbiorach zadan. Ksiazkowe rozwiazanie wyglada mniej wiecej tak (liczymy opór miedzy wezami $(0,0)$ i $(1,0)$):

Najpierw wyobrazmy sobie, ze wpuszczamy do kraty prad (zabieramy elektrony) przez weze $(0,0)$. Natezenie tego pradu wynosi I. Poniewaz kratownica jest symetryczna, wiec prad ten rozpywa sie sprawiedliwie po $I/4$ przez kazdy z oporników aczacych $(0,0)$ z $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ i $(0,-1)$. Opornikiem aczacym $(0,0)$ z $(1,0)$ pynie prad $I/4$.

Teraz wyobrazmy sobie, ze pobieramy z kraty prad (wpuszczamy elektrony) przez weze $(1,0)$. Natezenie tego pradu wynosi $I$. Poniewaz kratownica jest symetryczna, wiec prad ten spywa sie sprawiedliwie po $I/4$ przez kazdy z oporników aczacych $(2,0)$, $(0,0)$, $(1,1)$ i $(1,-1)$ z $(1,0)$. Opornikiem aczacym $(0,0)$ z $(1,0)$ pynie prad $I/4$.

Teraz wyobrazmy sobie, ze jednoczesnie wpuszczamy do kraty prad $I$ przez weze $(0,0)$ i pobieramy prad $I$ przez weze $(1,0)$. Obie powyzsze sytuacje nakadaja sie (superponuja). Opornikiem aczacym $(0,0)$ do $(1,0)$ pynie teraz prad $I/4 + I/4 = I/2$. Róznica potencjaów wezów $(0,0)$ i $(1,0)$ wynosi (prawo Ohma) $RI/2$. Przez kratownice przepywa prad $I$. Szukany opór zastepczy kratownicy wynosi (znowu prawo Ohma) $(RI/2)/I = R/2$.

Rozwiazanie to ma wiele wad, nad którymi nie bede sie rozwodzi. Niektóre sa na tyle powazne, ze stawiaja znak zapytania przy pytaniu o poprawnosc powyzszego rozwiazania. Ponadto nie uugólnia sie ono na przypadek wersji rozszerzonej zadania (Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiedzy dowolnymi dwoma ustalonymi punktami kratowymi?).

Przejdzmy zatem do wersji rozszerzonej zadania, a co za tym idzie do matematyki. Bedziemy liczyc opór miedzy dwoma róznymi punktami o wspórzednych $(a,b)$ i $(c,d)$. Prad $I$ wpywa do kratownicy w punkcie $(a,b)$ i wypywa w punkcie $(c,d)$. Interesuje nas jakie wystepuje napiecie miedzy tymi punktami (znajac napiecie mozemy z prawa Ohma obliczyc opór i na odwrót).

Teraz jeszcze przez moment fizyka. To, do czego bedziemy dazyc to wyznaczenie rozkadu potencjau w wezach kratownicy. (Napiecie to róznica potencjaów.) Niech $V_{kl}$ oznacza potencja w punkcie $(k,l)$. Chcemy dowiedziec sie ile wynosi $V_{kl}$, w zaleznosci od $k$ i $l$. Szukany opór to $(V_{ab}-V_{cd})/I$.

Prady wypywajace z weza $(k,l)$ przez cztery oporniki to $[V_{kl} - V_{k(l+1)}]/R$, $[V_{kl} - V_{k(l-1)}]/R$, $[V_{kl} - V_{(k+1)l}]/R$ i $[V_{kl} - V_{(k-1)l}]/R$. ich suma musi byc równa pradowi wpywajacemu do kratownicy przez weze $(k,l)$ z zewnatrz, czyli $V_{kl}$ spenia warunek


    $\displaystyle \frac{[V_{kl} - V_{k(l+1)}]+[V_{kl} - V_{k(l-1)}]+
[V_{kl} - V_{(k+1)l}] + [V_{kl} - V_{(k-1)l}]}{R}=$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
I & \textrm{dla} & (k,l)=(a,b)\\
-I...
...,d)\\
0 & \textrm{w} & \textrm{pozostałych przypadkach.}\\
\end{array}\right.$ (4.10)

daje to:


    $\displaystyle 4V_{kl} - [V_{k(l+1)} + V_{k(l-1)} + V_{(k+1)l} + V_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
IR & \textrm{dla} & (k,l)=(a,b)\\
-...
...,d)\\
0 & \textrm{w} & \textrm{pozostałych przypadkach.}\\
\end{array}\right.$ (4.11)

Tyle wstepu fizycznego dalej troche matematyki.

Obserwacje

Warunek 4.11 oznacza, ze dla wszystkich par $(k,l)$ z wyjatkiem dwóch ($(a,b)$ i $(c,d)$) potencja w wezle $(k,l)$ jest równy sredniej arytmetycznej potencjaów w czterech sasiednich wezach.


\begin{displaymath}
V_{kl} = \frac{1}{4}[V_{k(l+1)} + V_{k(l-1)} + V_{(k+1)l} + V_{(k-1)l}]
\end{displaymath} (4.12)

Przeksztacajac troche inaczej mamy


\begin{displaymath}
\{[V_{k(l+1)} - V_{kl}] - [V_{kl} - V_{k(l-1)}]\} +
\{[V_{(k+1)l} - V_{kl}] - [V_{kl} - V_{(k-1)l}]\} = 0
\end{displaymath} (4.13)

Obie te równosci sa dyskretnymi odpowiednikami wasnosci/definicji funkcji harmonicznych w $R^2$. (Niech $U\subset R^2$ otwarty. Funkcja $f:U\rightarrow R$ jest harmoniczna gdy $f''_{xx} + f''_{yy}=0$. Wartosc fynkcji harmonicnej w punkcie $(x,y)$ jest równa usrednieniu $f$ po dowolnym kóku zawartym w $U$ o srodku w $(x,y)$.) Zatem nasza funkcja $V:Z^2\rightarrow R$ jest harmoniczna (w dyskretnym sensie) na prawie caym $Z^2$.

atwo sie przekonac, ze warunek 4.11 nie wyznacza wartosci $V_{kl}$ jednoznacznie. Warto spróbowac na kartce papieru powpisywac w kratki wartosci $V_{kl}$ tak, by warunek 4.11 by speniony. Okaze sie, ze mamy bardzo duza swobode w tym wpisywaniu. Wartosci $V_{ab}$ i $V_{cd}$ moga byc zupenie dowolne. Najwyrazniej brakuje nam jeszcze jednego warunku (ograniczenia).

Tym ograniczeniem jest warunek brzegowy:


\begin{displaymath}
\textrm{$V_{kl}$ dąży do $0$ gdy $\max(\vert k\vert,\vert l\vert)$ dąży do nieskończoności}.
\end{displaymath} (4.14)

Zamiast $\max(\vert k\vert,\vert l\vert)$ mozna tu byo napisac $\vert k\vert+\vert l\vert$ lub $k^2+l^2$ lub jeszcze inne rzeczy. Sens fizyczny tego warunku jest taki, jak nas uczono w szkole: "w nieskonczonosci potencja wynosi $0$". W punktach odlegych od poczatku ukadu wspórzednych potencja jest bliski $0$. Mozna sie spierac na ile warunek ten jest suszny (w ogóle rozpatrywanie nieskonczenie wielkich obiektów fizycznych, jak nasza kratownica jest podejrzane), jednak bez niego nie ruszymy.

Ostatecznie pozosta problem czysto matematyczny: Znalezc wszystkie funkcje przyporzadkowujace $(k,l) \rightarrow V_{kl}$, speniajace warunki 4.11 i 4.14.

Najpierw pokazemy, ze takich funkcji nie jest duzo. Najwyzej jedna.

Zaózmy, istnieja dwie rózne takie funkcje $V$ i $V'$. Oznaczmy $W_{kl} = V_{kl} - V'_{kl}$. Poniewaz $V$ i $V'$ speniaja warunek 4.14, wiec $W$ tez go spenia. Z tego, ze $V$ i $V'$ speniaja warunek 4.11 wynika, ze


    $\displaystyle 4W_{kl} - [W_{k(l+1)} + W_{k(l-1)} + W_{(k+1)l} + W_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
IR-IR & \textrm{dla}& (k,l)=(a,b) \\...
...=(c,d) \\
0 & \textrm{w}& \textrm{pozostałych przypadkach.}
\end{array}\right.$ (4.15)

co daje $0$ dla kazdego punktu $(k,l)$. W jest zatem funkcja ,,harmoniczna'' na caym $Z^2$, niezerowa (bo $V\ne V'$), znikajaca w nieskonczonosci (warunek 4.14). Zobaczmy, ze takich $W$ nie ma. Skoro $W$ jest funkcja niezerowa i spenia warunek 4.14, to w jakims punkcie przyjmuje ona niezerowa wartosc ekstremalna, oznaczmy ja $W_E$. Niech $(m,n)$ bedzie takim punktem, ze $W_{mn} = W_E$, a zarazem $W_{kl}\ne W_E$ gdy $k<m$. $(m,n)$ jest poozonym najbardziej na lewo punktem, w którym $W$ przyjmuje wartosc $W_E$ (korzystamy tu z 4.14). Poniewaz $W_E = W_{mn}$ jest równe sredniej arytmetycznej z liczb $W_{m(n+1)}$, $W_{m(n-1)}$, $W_{(m+1)n}$ i $W_{(m-1)n}$ i $W_{(m-1)n} \ne W_E$, wiec wsród $W_{m(n+1)}$, $W_{m(n-1)}$, $W_{(m+1)n}$ i $W_{(m-1)n}$ wystepuja zarówno liczby wieksze, jak i mniejsze od $W_E$. Sprzecznosc, bo $W_E$ byo wartoscia ekstremalna. Nie ma takich $W$, jakie rozwazamy. Nie istnieja dwie rózne funkcje $V$ i $V'$ speniajace 4.11 i 4.14. Istnieje co najwyzej jedna taka funkcja $V$.

Spróbujmy poszukac tego $V$. Podejscie pierwsze - funkcje tworzace. Rozwazmy formalnie napisany szereg


\begin{displaymath}
f(x,y) = \sum_{k,l\in Z} V_{kl}x^ky^l
\end{displaymath} (4.16)

Warunek 4.14 powoduje, ze szereg ten ma szanse zbiegac na jakims obszarze, definiujac funkcje $f$. Warunek 4.11 daje nam równosc


\begin{displaymath}
4f(x,y) - \left[\frac{f(x,y)}{y} + f(x,y)y + \frac{f(x,y)}{x} +
f(x,y)x\right]=IRx^ay^b - IRx^cy^d.
\end{displaymath} (4.17)

Stad


\begin{displaymath}
f(x,y)=IR\frac{x^ay^b - x^cy^d}{4 - x - y - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}}.
\end{displaymath} (4.18)

Teraz wystarczy rozwinac $f$ w szereg potegowy (potegi cakowite, zarówno dodatnie, jak i ujemne) ze wzgledu na $x$ i $y$. Wspóczynniki tego rozwiniecia to szukane liczby $V_{kl}$. Napisac atwo, rozwinac trudno. :-(

Spróbujmy zatem czegos innego: Rozwazmy sume


\begin{displaymath}
F(x,y) = \sum_{k,l\in Z} \frac{V_{kl}e^{ikx}e^{ily}}{2\pi}.
\end{displaymath} (4.19)

Co to za suma? O co tu chodzi?

Zarówno $F(x,y)$, jak i $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$ traktujemy jako elementy przestrzeni Hilberta $L^2([-pi,pi]\times[-pi,pi])$ Chodzi o to, ze funkcje $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$ sa w tej przestrzeni ortonormalne. Mozemy wykorzystywac nasza wiedze o przestrzeniach Hilberta i bazach ortonormalnych. Sowo $\sigma$ rozumiemy tu, jako nieskonczona sume /granice sum czesciowych w sensie $L^2([-pi,pi]\times[-pi,pi])$. Jest ona okreslona, jezeli $V \in l^2(Z^2)$, czyli $\sum_{k,l\in Z} Vkl^2$ jest skonczona. Ale niewazne, liczmy, jakby wszystkie niezbedne warunki byy spenione.

Warunek 4.11 daje nam równosc


\begin{displaymath}
4F(x,y) -[\frac{F(x,y)}{e^{iy}} + F(x,y)e^{iy} + \frac{F(x,y...
...\frac{IRe^{iax}e^{iby}}{2\pi} - \frac{IRe^{icx}e^{idy}}{2\pi}.
\end{displaymath} (4.20)

Stad


\begin{displaymath}
F(x,y)=IR\frac{[e^{iax+iby}-e^{icx+idy}]}{2\pi[4-e^{ix}-e^{-ix}-e^{iy}-e^{-iy}]}
\end{displaymath} (4.21)

czyli


\begin{displaymath}
F(x,y)=\frac{IR}{4\pi}\frac{e^{iax+iby} - e^{icx+idy}}{2 - \cos x - \cos y}
\end{displaymath} (4.22)

Wystarczy teraz rozwinac ta funkcje ze wzgledu na $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$.

Liczymy:


$\displaystyle V_{kl} = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{pi}
\frac{F(x,y)e^{-ikx}e^{-ily}}{2\pi} dx dy$     (4.23)
$\displaystyle V_{kl} = \frac{IR}{8*\pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{e^{i(k-a)x+i(l-b)y}-e^{i(k-c)x+i(l-d)y}}{2-\cos x - \cos y} dx dy$     (4.24)

Poniewaz liczby $V_{kl}$ sa liczbami rzeczywistymi, wiec cake wystarczy liczyc tylko z czesci rzeczywistej funkcji podcakowej. Przypominam, ze $re(e^{it})=\cos t$ (dla $t \in R$). Dostajemy wynik


\begin{displaymath}
V_{kl} = \frac{IR}{8 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi...
...(k-a)x+(l-b)y]-\cos[(k-c)x+(l-d)y]}{2 - \cos x - \cos y} dx dy
\end{displaymath} (4.25)

atwo sprawdzic (wystarcza znajomosc wzru na kosinus sumy i róznicy katów oraz wiedza, jak sie cakuje funkcje $\cos(tx)$ na odcinku), ze tak wyznaczone $V_{kl}$ istotnie spenia warunki 4.11 i 4.14.

Szukany opór zastepczy wynosi


\begin{displaymath}
\frac{V_{ab}-V_{cd}}{I} = \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}...
...\pi}
\frac{1-\cos[(c-a)x+(d-b)y]}{2 - \cos x - \cos y} dx dy,
\end{displaymath} (4.26)

czyli mówiac prosciej:

Opór miedzy dwoma wezami, których poozenie rózni sie o m "w poziomie" i o n "w pionie", wynosi:


\begin{displaymath}
R_{mn} = \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy
\end{displaymath} (4.27)

Kilka przykadowych wartosci:


$\displaystyle R_{01}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{10} = R_{0-1} = R_{-10} = \frac{R}{2}$ (4.28)
$\displaystyle R_{11}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{1-1} = R_{-11} = R_{-1-1} = 2\frac{R}{\pi}$ (4.29)
$\displaystyle R_{02}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{20} = R_{0-2} = R_{-20} = R(2 - \frac{4}{\pi})$ (4.30)
$\displaystyle R_{12}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{21} = R_{1-2} = R_{-21} = R_{-12} = R_{2-1} = R_{-1-2} =$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle R_{-2-1} = R(\frac{4}{\pi} - \frac{1}{2})$ (4.31)

Podobno (nie liczyem tego osobiscie)


\begin{displaymath}
R_{kk} = 2\frac{R}{\pi}[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\dots+
\frac{1}{2k-1}]
\end{displaymath} (4.32)

Da sie sprawdzic (na przykad opierajac sie na podanym wyzej wzorze), ze $R_{kl}$ spenia warunek podobny do 4.11:


    $\displaystyle 4R_{kl} - [R_{k(l+1)} + R_{k(l-1)} + R_{(k+1)l} + R_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
-2R & \textrm{dla}& (k,l)=(0,0)\\
0 & \textrm{w}& \textrm{pozostałych przypadkach.}
\end{array}\right.$ (4.33)

Warunek ten, wraz z warunkiem symetrii $R_{kl}=R_{lk}=R_{k-l}$ pozwala znajac wartosci $R_{kk}$ wyliczac wszystkie opory $R_{kl}$ bez liczenia caek (znowu: proponuje spróbowac na kartce papieru powpisywac w kratki wartosci $R_{kl}$ tak, by warunki te byy spenione).




Teraz moge napisac o wadach ksiazkowego rozwiazania uproszczonej wersji zadania. Chodzi o to wpuszczenie pradu przez jeden weze w kratownicy. Jak byo widac, bardzo waznym zaozeniem, które nam towarzyszyo byo zaozenie mówiace o tym, ze potencja kraty zeruje sie w nieskonczonosci. Okazuje sie, ze gdy jedynie wpuszczamy prad do kratownicy, wówczas zaozenia tego nie mamy szans spenic (chyba, ze prad jest zerowy). Ale niech tam. Wazne zeby potencja ten zbiegado 0 w nieskonczonosci, gdy oba kabelki sa do kratownicy podaczone, zarówno ten przez który prad wpywa, jak i ten przez który wypywa. Tego jednak sie nie sprawdza.

Ta sama watpliwosc wypowiedziana troche inaczej: Zwykle mówiac o wpuszczaniu pradu mamy na mysli jakies zródo pradowe, a takie maja zwykle dwa kabelki. Gdzie podaczyc ten drugi? Ano, w osawionej ieskonczonosci". Ale opór miedzy wybranym wezem, a ieskonczonoscia" jest nieskonczony (liczyem to kiedys w jakims poscie, ostatnio podobny rachunek przysa J.F.).

Warto moze byoby wspomniec jeszcze o probabilistycznym podejsciu do problemu, ale to juz nie tym razem.


next up previous contents
Next: Optyka, fale EM Up: Prąd Previous: Z jaką prędkością płynie   Spis rzeczy