next up previous contents
Next: Dlaczego światło zwalnia w Up: Optyka, fale EM Previous: Jakie są zakresy promieniowania   Spis rzeczy

Co to predkosc fazowa i grupowa fali?

(artyku do ew weryfikacji)

Predkosc fazowa, jest to predkosc rozchodzenia sie zaburzenia w fali. Szybkosc, z jaka maksimum wychylenia przebywa caa dugosc fali,


\begin{displaymath}
v_f=\frac{\omega}{k}=\lambda f=\omega\frac{\lambda}{2\pi}.
\end{displaymath} (5.1)

Zaleznosc $\omega$ od $k$ jest dla fal elektromagentyczncyh nastepujaca,


\begin{displaymath}
\omega(k)=\frac{ck}{n(k)}
\end{displaymath} (5.2)

gdzie $n(k)$ jest wspóczynnikiem zaamania dla danej liczby falowej $k$. Predkosc fazowa wyraza sie zatem jako


\begin{displaymath}
v_f=\frac{c}{n(k)}
\end{displaymath} (5.3)

i moze byc wieksza od predkosci swiata w osrodkach, gdzie $n<1$. Nie oznacza to jednak mozliwosci przekazu informacji z szybkoscia wieksza od swiata: sinusoida ma z góry znana postac na koncu i poczatku kanau transmisyjnego i zadnej informacji nie mozna przesac z jej pomoca.

Szybkosc przepywu informacji (np. czoa fali sinusoidalnej po waczeniu dla niej niezerowej amplitudy) okresla predkosc grupowa. Takie czoo fali w mysl analizy fourierowskiej skada sie z szeregu pomniejszych fal, które skupiaja sie, tworzac czoo fali sinusoidalnej. Na koncu kanau transmisyjnego takie fale pojawiaja sie natychmiast, lecz nie mozna ich wykryc, gdyz w poaczeniu z pozostaymi falami fourierowskimi wygaszaja sie. Dopiero czoo fali, przemieszczajace sie z predkoscia grupowa stanowi informacje wykrywalna.

Predkosc grupowa okresla równanie


\begin{displaymath}
v_g=\frac{d\omega}{dk}
\end{displaymath} (5.4)

Dlaczego tak? Przedstawimy uzasadnienie z ,,Elektrodynamiki klasycznej'' Jacksona. Jesli wziac pakiet fal o róznych czestotliwosciach i policzyc ich superpozycje (caka po wszystkich czestotliwosciach), uzyskamy


\begin{displaymath}
U(x,t)=\int_0^{\infty}A_k u_k(x,t)dk=\int_0^{\infty}A_k
\exp\{j(\omega(k)t+kx)\}dk
\end{displaymath} (5.5)

Wiadomo, ze zazwyczaj widma czestotliwosciowe sygnaów sa skupione w waskie ,,kapelusze'', mozna zatem w przyblizeniu napisac szereg Taylora,


\begin{displaymath}
\omega(k)=\omega_0+\frac{d\omega}{dk}k
\end{displaymath} (5.6)

Wstawiajac to do równania na cakowita fale,


\begin{displaymath}
U(x,t)=\exp(j\omega_0t)\int_0^{\infty}A_k\exp\left\{jk\left(...
...a_0t)\int_0^{\infty}A_ku\left(x+\frac{d\omega}{dk}t,0\right)dk
\end{displaymath} (5.7)

Ostatnie wyrazenie pokazuje, ze grupa fal (nie liczac wyciagnietej przed cake obwiedni) przemieszcza sie z predkoscia $v_g=\frac{d\omega}{dk}$.


next up previous contents
Next: Dlaczego światło zwalnia w Up: Optyka, fale EM Previous: Jakie są zakresy promieniowania   Spis rzeczy