next up previous contents
Next: Dlaczego w mechanice kwantowej Up: Fizyka kwantowa Previous: Co to jest nawias   Spis rzeczy

Co to sa operatory w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej wielkosci mierzalne oblicza sie w sposób specyficzny. Nalezy tu w jakis sposób zadziaac na wektor stanu (który spenia równanie fali), aby uzyskac interesujaca wartosc. Jest tak, bowiem wszystkie informacje trzeba wasciwie wyciagac z funkcji falowej. W tym celu przypisuje sie wielkosciom mierzalnym operatory. Wielkosci mierzalnej $a$ odpowiada operator


\begin{displaymath}
\hat A=\sum_{a,\alpha} \vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert
\end{displaymath} (6.4)

gdzie $\vert a,\alpha>$ to mozliwe wektory stanu w caej przestrzeni. Operator dziaajac na wektor zwyky daje w wyniku wektor zwyky, dziaajac na wektor dualny, daje wektor dualny:


$\displaystyle \hat A\vert\Psi>=\sum_{a,\alpha}\vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert\Psi>$     (6.5)
$\displaystyle <\Psi\vert\hat A=\sum_{a,\alpha}<\Psi\vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert$     (6.6)

Dziaajac obecnie operatorem $\hat A$ na wektor stanu $\vert a,\alpha>$, korzystajac z ortonormalnosci bazy $\vert a,\alpha>$ (tj. $<a,\alpha\vert a',\alpha'>=\delta_{a,a'}\delta_{\alpha,\alpha'}$), uzyskamy


\begin{displaymath}
\hat A\vert a,\alpha>=a\vert a,\alpha>
\end{displaymath} (6.7)

Co oznacza, ze aby obliczyc wielkosc mierzalna $a$, nalezy obliczyc wartosc wasna powyzszego równania dla wektora wasnego $\vert a,\alpha>$. Pamietamy bowiem z matematyki, ze równanie wasne oznaczao sie tam jako


\begin{displaymath}
{\bf A}\vec x=\lambda \vec x
\end{displaymath} (6.8)

gdzie ${\bf A}$ byo macierza, a $\vec x$ wektorem wasnym, natomiast $\lambda$ byo skalarna wartoscia wasna. Powyzsze równanie operatorowe ma identyczna strukture, jedynie operator nie jest jako taki macierza. Jednak mozna operator przedstawic równiez w postaci macierzy, dziaajac nim na wektory bazowe wektora stanu,


\begin{displaymath}
A_{ij}=\sum_{n,\alpha}<b_i\vert a_n,\alpha>a_n<a_n,\alpha\vert b_j>
\end{displaymath} (6.9)

(dziaamy tu operatorem na kolejne wektory bazowe $\vert b_j>$, a nastepnie rzutujemy caosc na dualne wektory bazowe $<b_i\vert$). W efekcie uzyskujemy klasyczne równanie wasne.


next up previous contents
Next: Dlaczego w mechanice kwantowej Up: Fizyka kwantowa Previous: Co to jest nawias   Spis rzeczy