next up previous contents
Next: Skąd bierze się zasada Up: Fizyka kwantowa Previous: Dlaczego w mechanice kwantowej   Spis rzeczy

Jak mozna atwo wyprowadzic operator pedu z równania falowego?

Uzywam równania falowego


\begin{displaymath}
\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}
\end{displaymath} (6.10)

i zakadam postac rozwiazania jako periodyczna, $\Psi=e^{i(kx-wt)}$. Podstawiam do r-nia falowego:


$\displaystyle ik \frac{\partial \Psi}{\partial x}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{v^2} (-w^2)\Psi$ (6.11)

No i teraz, $v=\frac{T}{\lambda}$, $w=\frac{2\pi}{\lambda}$, wiec $\frac{w^2}{v^2}=\frac{p^2}{\hbar^2}$. Mnozymy caosc przez $\hbar$ obustronnie,


$\displaystyle i \hbar k \frac{\partial \Psi}{\partial x}=ip \frac{\partial \Psi}{\partial
x}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\frac{p^2}{\hbar} \Psi \qquad\textrm{dzielimy przez p}$ (6.12)
$\displaystyle -i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} = p \Psi$     (6.13)
$\displaystyle \hat p \Psi=p\Psi$     (6.14)

I oto stao sie-gotowe :)) I nie wymaga maglowania przestrzeni hilberta;)