next up previous contents
Next: Astronomia Up: Fizyka kwantowa Previous: Jak można łatwo wyprowadzić   Spis rzeczy

Skad bierze sie zasada nieoznaczonosci Heisenberga?

Wprowadza sie tu dwa pomocnicze operatory Hermitowskie, $\hat X$ oraz $\hat
Y$. Nastepnie oblicza sie norme wektora $\vert\Psi>$, na który podziaano tymi operatorami wg przepisu $(\hat X+j\lambda\hat Y)\vert\Psi>$. Norma taka z definicji dowolnej normy musi byc nieujemna,


$\displaystyle <\Psi\vert(\hat X-j\lambda\hat Y)(\hat X+j\lambda\hat Y)\vert\Psi>\ge 0$     (6.15)
$\displaystyle \lambda^2<\Psi\vert\hat Y^2\vert\Psi>+\lambda<\Psi\vert i[\hat X,\hat Y]\vert\Psi>+<\Psi\vert\hat X^2\vert\Psi> \ge 0$     (6.16)

Gdzie $[\hat X,\hat Y]$ jest tzw. komutatorem operatorów, obliczanym jako $[\hat X,\hat Y]=\hat X\hat Y-\hat Y\hat X$.

Aby ostatnie równanie kwadratowe byo spenione dla dowolnego $\lambda$, delta jego musi byc niedodatnia. Podstawiajac $\hat X=\hat A-<A>$, $\hat Y=\hat B-<B>$ (gdzie $<A>$ jest symbolem wartosci sredniej), uzyskuje sie nastepujacy warunek niedodatniosci wyróznika,


\begin{displaymath}
\Delta A^2\Delta B^2\ge \frac{1}{4}\vert<\Psi\vert[\hat A,\hat B]\vert\Psi>\vert^2
\end{displaymath} (6.17)

Co podstawiajac komutator operatorów pedu i poozenia, $[\hat p,\hat x]=-i\hbar$, daje


\begin{displaymath}
\Delta p^2\Delta x^2 \ge \frac{1}{4}\hbar^2
\end{displaymath} (6.18)

lub


\begin{displaymath}
\Delta p\Delta x \ge \frac{1}{2}\hbar
\end{displaymath} (6.19)


next up previous contents
Next: Astronomia Up: Fizyka kwantowa Previous: Jak można łatwo wyprowadzić   Spis rzeczy